Randpunkte neben mathematischen Formeln

\documentclass[11pt]{scrartcl}\usepackage[ngerman]{babel}\usepackage[T1]{fontenc}\usepackage[utf8]{inputenc}\usepackage{amsmath}\usepackage{amsthm}\usepackage{amssymb}\usepackage{mathrsfs}\usepackage{lmodern}\usepackage{fancybox}\newcommand{\ds}{\displaystyle}\newcommand{\rand}[1]{\marginpar{\ovalbox{\ovalbox{#1}}}}\setlength{\marginparpush}{0cm}\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\usepackage{scrpage2}\usepackage{desclist}\usepackage{lastpage}\ihead{\textsc{FB Mathematik}}\chead{\textsc{\today}}\ohead{\textsc{Seite \thepage ~von \pageref{LastPage}}}\setheadsepline{0.5pt}\setfootsepline{0.5pt}\pagestyle{scrheadings}\renewcommand*{\headfont}{\normalfont}\newcommand{\lsg}{\\\textbf{Lösung:}\\}\usepackage{geometry}\geometry{a4paper,left=2cm,right=2cm, top=2cm, bottom=2.5cm}\begin{document}\begin{center}\LARGE\textbf{Analysis II -- Probeklausur -- Musterlösung}%Nr\end{center}\textbf{Aufgabe 1. }($3+2+2$ Punkte)
\begin{itemize}\item[(a)] Gegeben sei eine Funktion $f:[-2,2]\to\R, x\mapsto x^3-x+5$.
\begin{itemize}\item[(i)]\textit{Definieren Sie den Mittelwertsatz für uneigentliche Integrale.}\lsg
Seien $f,g:[a,b]\to\R$ stetig und $g(x)\geq0$ auf $[a,b]$. Dann existiert ein $\xi\in[a,b]$, so dass \rand{1}\[\int_a^b f(x)g(x)dx = f(\xi)\int_a^b g(x)dx.\]\item[(ii)]\textit{Ist dieser Satz auf $f$ anwendbar? Finden Sie alle $\xi\in[-2,2]$, für die gilt: $\int_{-2}^2f(x)dx=4f(\xi)$.}\lsg
Der Satz ist auf $f$ anwendbar, da $f$ auf $[a,b]$ stetig und $g(x)=1$ existiert, dann gilt:\rand{0,5}\[\int_{-2}^2 f(x)g(x) dx = f(\xi)(b-a).\]
Jetzt bestimmen wir $\xi$ so, dass $\int_{-2}^2f(x)dx =4f(\xi)$ gilt. Also:\rand{1}\begin{align*}\int_{-2}^2 x^3-x+5\ dx &= \left[ \frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}+5x\right]_{-2}^2 \\&= (4-2+10)-(4-2-10) = 20 \overset{!}{=} 4f(\xi),
\end{align*}
d.h. $20=4f(\xi)\Leftrightarrow5=\xi^3-\xi+5\Leftrightarrow0=\xi(\xi^2-1)\Leftrightarrow\xi_1=0,\xi_2=1,\xi_3=-1$.\rand{0,5}\end{itemize}\end{itemize}\end{document}